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第一章 这是你的极了么（第1页）

函数与极限

函数

D∈R，f:D→?R?y=fx，X∈D

x自变量，?y因变量，?D，Df定义域，?值域Rf=fD

[x]表示：不超过x的最大整数

y=sgnxl，sgnx是符号函数.

函数的几种特X：

1有界X??任意，?存在

上界：?K，fx≤k1，一个上界不唯一

fx=-1xx>0?，fx≤0

下界：?k2?fx≥K2一个下界不唯一

有界：?正数M，|fx|≤M.?-M≤fx≤M

无界：?正数M，?x1∈x，|fx1|>M

2单调X

x1

x1fx2

3奇偶X

D关于原点对称

f-x=5x?偶?f-x=fx奇

4周期X??正数L

fx+L=fx

最小周期：?y=sinx?周期2π

并非每个周期函数，都有最小周期

例：Dx=1?X∈Q?Q有理数?不存在最小的正有理数周期

Dx=0?X∈Q^cC无理数

任何正有理数r都是周期

5反函数

设f:D→fD单S?f^-1:fD→D

f增f^-1增?f减?f^-1减

f与f^-1关于y=x对称?x只能唯一

6复合函数

y=ft?t=gx

y=fgx?t：中间变量

运算：?fx.gx?Df.Dg.?D=Df∩Dg≠?

例：fx定义域-L，L

fx=gx+hx

任给?偶?奇

f－x=gx-hx

偶：gx=12[fx+f－x]?g-x＝12[f-x+fx]

奇：hx=12[fx-f-x]?h-x＝12f-x-fx]

7初等函数

幂函数：?y=x^a，指函数y=a^x?对函数：y=loga^x

三角函数.反三角函数.

重点：有限次的运算.复合.

函数的极限

1x→?a?有限数?x→?a?fx→b

fx在x0的去心邻域内有定义在x0处可以没有定义

?A.Aε>O，?δ>0，0

|fx-A|＜ε.

lim?fx=A.fx→Ax→x0

x→x0

无穷小与无穷大

无穷小：趋于0、可正可负?O是唯一无穷小的常数

无穷小十无穷小.?无穷小一无穷小

天穷小×无穷小.?C*无穷小

无穷大：+∞，-∞.lim=∞

x→∞

fx无穷大，1fx无穷小.

fx无穷小，1fx无穷大.

极限的运算法则

定理1：两个无穷小之和是无穷小，有限个无穷小之和是无穷小

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

limsin1x·x=0

x→0

推论：C*无穷小=无穷小.

有限个无穷小的乘积是无穷小

定理3：limfx=A.?limgx=B

1lim[fx±gx]=limfx土limgx=A±B

条件：两者极限存在

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